Обязаны ли родители предоставлять вместе с подарками детскому саду оригиналы кассовых чеков?

Нет, не обязаны. Федеральный закон от 11.08.1995 г. N 135-ФЗ "О благотворительной деятельности и благотворительных организациях" не обязывает предоставить оригиналы платежных документов. Вы можете сделать договор пожертвования и приложить копию товарных чеков. Если администрация детского сада настаивает на передаче оригиналов кассовых чеков, то, скорее всего, идет присвоение денежных средств, выделяемых для обустройства детского сада. За это грозит ответственность по ст. 160 УК РФ.