На работе получил травму, руководство хочет оформить это как бытовое происшествие. Правильно ли это?

Нет, не правильно. Требуйте оформления производственной травмы. Иначе возмещение вреда здоровью не получите. Если работодатель будет противодействовать оформлению производственной травмы, то вы имеете право обратиться с жалобой в прокуратуру, Госинспекцию труда или направить исковое заявление в суд. При этом в суде вы сможете требовать компенсации морального вреда (ст. 184 ТК РФ, ст. 151 ГК РФ).