Можно ли в паспорте дописать или исправить свою подпись на новую?

Нет, исправления в паспорте не допустимы. Однако вы вправе изменить свою подпись без ее исправления в паспорте. Здесь нет никаких ограничений, могут быть только определенные неудобства. Подпись в паспорте и нынешняя подпись гражданина могут различаться, причем существенно. Ответственности за смену подписи нет.