День числа Пи: как одно иррациональное число сделало нас современными

Знаменитое математическое соотношение, насчитывающее более 22 триллионов цифр (и подсчитываемое), является идеальным символом долгих усилий нашего вида по обузданию бесконечности.

Преданные круга во время празднования Дня Пи в Хьюстоне.

Адаптировано из книги “Бесконечные степени: как исчисление раскрывает секреты Вселенной”, которая будет опубликована 2 апреля Хоутоном Миффлином Харкортом.

Когда мои дети были маленькими, им нравилось смотреть на тарелку для пирога, висящую у нас на кухне, с цифрами числа пи, бегущими по краю и закручивающимися по спирали к центру, уменьшаясь в размерах по мере того, как цифры закручивались в пропасть.

Число Пи, как нас всех учили в школе (и напоминают нам каждое 14 марта, в День числа Пи), определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначаемое греческой буквой π, это любопытное маленькое число составляет приблизительно 3,14, хотя компьютеры вычислили его из 22 триллионов цифр и подсчитали: 3,141592653589793238462643383279502..., последовательность, никогда не повторяющаяся, никогда не изменяющая никакой схеме, продолжающаяся вечно, бесконечность на блюде.

Для некоторых людей День числа Пи - это повод поразиться кругам, которые издавна почитались как символы совершенства, перевоплощения и циклов природы. Но именно приручение бесконечности мы действительно должны праздновать. С математической точки зрения число пи - это не столько дитя геометрии, сколько ранний предок исчисления, раздела математики, разработанного в 17 веке, который имеет дело со всем, что изгибается, движется или постоянно меняется.

Как отношение, число пи существует со времен Вавилона, но греческий геометр Архимед, около 2300 лет назад, впервые показал, как строго оценить значение числа пи. Среди математиков того времени понятие бесконечности было табу; Аристотель пытался изгнать его за то, что оно было слишком парадоксальным и логически коварным. Однако в руках Архимеда бесконечность стала математической рабочей лошадкой.

Он использовал его, чтобы обнаружить площадь круга, объем сферы и многие другие свойства изогнутых форм, которые ставили в тупик лучших математиков до него. В каждом случае он приближал изогнутую форму, используя большое количество крошечных прямых линий или плоских многоугольников. В результате приближений получились похожие на драгоценные камни ограненные объекты, которые позволили фантастически понять исходные формы, особенно когда он представил, как в процессе используется бесконечно много бесконечно малых граней.

Чтобы почувствовать эту идею, меняющую мир, представьте, что вы измеряете расстояние вокруг круговой дорожки возле вашего дома. Чтобы получить оценку, вы можете пройти один круг, а затем обратиться к приложению шагомера на вашем телефоне, чтобы узнать, как далеко вы прошли. Шагомер вычисляет расстояние простым способом: он оценивает длину вашего шага на основе вашего роста (который вы ввели в приложение) и подсчитывает, сколько шагов вы сделали. Затем он умножает длину шага на количество шагов, чтобы вычислить, как далеко вы прошли.

Архимед использовал аналогичный метод для оценки длины окружности и, таким образом, для оценки числа пи. Опять же, представьте, что вы идете по круговой дорожке. Результирующий путь выглядел бы примерно так, каждый шаг представлен крошечной прямой линией.

Умножьте количество строк на длину каждой, чтобы оценить длину окружности. Конечно, это всего лишь приближение: каждый прямой отрезок - это короткий путь вместо того, что на самом деле является изогнутой дугой. Таким образом, приближение, несомненно, недооценивает истинную длину круга.

Но, сделав достаточное количество шагов и сделав их достаточно маленькими, вы могли бы приблизить длину дорожки так точно, как хотели. Например, дорожки с шестью, 12 и 24 шагами будут все более хорошо вписываться в круг.

Архимед выполнил аналогичную серию вычислений, начав с шестиугольного пути, состоящего из шести прямых шагов. Преимущество шестиугольника заключалось в том, что он мог вычислить как длину его периметра (которая приблизительно равна окружности круга), так и его диаметр (который совпадает с диаметром круга).

Периметр ровно в шесть раз больше радиуса r круга, или 6 r. Это потому, что шестиугольник содержит шесть равносторонних треугольников, каждая сторона которых равна радиусу окружности. Диаметр шестиугольника, со своей стороны, в два раза больше радиуса круга, или 2 r.

Теперь вспомним, что периметр шестиугольника недооценивает истинную длину окружности. Таким образом, отношение этих двух гексагональных расстояний — 6 r / 2 r = 3 - должно представлять собой заниженное значение числа пи. Следовательно, неизвестное значение числа пи, чему бы оно ни равнялось, должно быть больше 3.

Конечно, шесть - это смехотворно малое количество шагов, а полученный шестиугольник - грубая карикатура на круг, но Архимед только начинал. Как только он понял, что говорит ему шестиугольник, он сократил шаги и сделал их в два раза больше. Затем он продолжал делать это снова и снова.

Одержимый человек, он прошел путь от 6 шагов до 12, затем 24, 48 и, в конечном счете, 96 шагов, используя стандартную геометрию, чтобы рассчитать постоянно уменьшающуюся длину шагов с точностью, вызывающей мигрень. Используя 96-сторонний многоугольник внутри круга, а также 96-сторонний многоугольник за пределами круга, он в конечном итоге доказал, что число пи больше 3 + 10/71 и меньше 3 + 10/70.

Найдите минутку, чтобы визуально оценить результат:

3 + 10/71 < π < 3 + 10/70.

Неизвестное значение числа пи зажато в числовых тисках, зажато между двумя числами, которые выглядят почти одинаково, за исключением того, что первое имеет знаменатель 71, а последнее - 70. Рассматривая многоугольники с еще большим количеством сторон, более поздние математики еще больше сжали тиски. Около 1600 лет назад китайский геометр Цзу Чунчжи придумал многоугольники с невероятными 24 576 сторонами, чтобы уменьшить число пи до восьми цифр:

3.1415926 < π < 3.1415927.

Позволяя неограниченно увеличивать количество сторон в многоугольниках вплоть до бесконечности, мы можем генерировать столько цифр числа пи, сколько захотим, по крайней мере, в принципе.

В "укрощении бесконечности" Архимед проложил путь к изобретению исчисления 2000 лет спустя. А математическое исчисление, в свою очередь, помогло сделать мир современным. Математическая стратегия Архимеда используется в компьютерных фильмах, приближая гладкий живот Шрека и похожие на трубы уши к миллионам крошечных многоугольников. Плавное скольжение песни Эллы Фицджеральд в цифровом виде представлено в потоковом аудио огромным количеством битов.

В каждой области человеческой деятельности, от реконструктивной хирургии лица до моделирования потока воздуха, проходящего мимо крыла реактивного самолета, миллиарды крошечных дискретных элементов создают гладкую и аналоговую реальность. Все началось с вычисления числа пи. Число Пи представляет собой математический предел: стремление к идеальной кривой, неуклонное продвижение к недостижимой звезде. Это существует, ясно, как ночь, и конца этому не видно.