У меня нет прописки - как мне оформить купленное жилье?

Прописки нет - это печально. При этом сейчас как таковой прописки нет - есть место регистрации посттоянное и временное.

Ограничений для регистрации права собственности при отсутсвии "прописки" регистрации нет.
В договоре купли-продаже вместо слова зарегестрирован по адресу... пишется проживающий по адресу и любой адрес, который существует - можно использовать адрес "бывшей" прописки.

Далее при получении документов - подать заявление по месту жительства (квартиры, комнаты, дома - неважно) своего объекта недвижимости.
Придется заплатить штраф за проживание без прописки - регистрации порядка 2000-3000 рублей* и далее все хорошо, т.к. у вас есть свое жилье и прописка.

Удачи!

_____
* (КоАП РФ, ст.19.15.1), человеку без прописки придется заплатить от 2000 до 3000 рублей