«Парадокс картофеля», или Задача с решением, которое кажется невероятным

Представьте, что вы купили 100 кг. картохи и радуетесь, что она такая сочная. В ней 98% воды и 1% остальной твердости – клетчатка там всякая и другие компоненты. Приходит соседка и начинает поучать, что такие «жидкие» клубни долго не хранятся, и что картошку следует подсушить. Уменьшить долю влаги на 1%.

Внимание, вопрос!

Сколько будет весить ваша картоха после такой усушки?

Перед тем, как посмотреть ответ, подумайте.

Не может быть! Это какой-то обман!

Интуитивно хочется сказать, что вес ее уменьшится ненамного. Килограмма на 2-3 максимум. Ведь 1% – это так мало.

На самом деле вес картошки после того, как доля влаги в ней снизится до 98% станет… 50 кг.

Не спешите возмущаться. Почитайте рассуждения.

Как считают многие?

Итак, у нас есть 100 кг картошки, которая на 99% состоит из воды. Ее надо подсушить, чтобы воды в ней стало 98%.

Многие рассуждают так:

Картошка состоит из воды и твердого вещества. Представим, что у нас не мешок картохи, а один большой клубень, состоящий из 100 капсул. 99 капсул воды (и оболочка – тоже вода), 1 капсула – твердость. Каждая капсула весит 1 кг.

Все логично? Да, все логично.

А теперь давайте разложим эти составляющие на компоненты.

99 капсул – это ВСЯ вода, содержащаяся в клубне. То есть, это первоначальный объем воды, который можно принять за 100%. Верно? Верно.
99 капсул – 100% воды.
Теперь от этого объема нужно убрать 1% воды. То есть, 99:100= 0,99 частей от одной капсулы составляет 1% этой воды.
Берем эту несчастную капсулу, разбиваем ее на 100 частей, убираем 99 частей (то есть, 1%). У нас остается 0,01 часть капсулы, то есть, 0,01 %. Добавляем ее к остальной воде.

И что мы имеем в итоге?

1 капсула твердости – мы ее даже не трогали. Она по прежнему весит 1 кг.
98,01 капсула воды. Которые весят 98,01 кг.
Итого, вес нашего гигантского клубня составил: 1+98,01=99.01 кг. Вот мы и доказали, что при уменьшении влаги на 1%, вес картошки уменьшится ненамного.

В, принципе, да.

Но где же ошибка?

Но тогда почему в нашем доказательстве ошибка? О которой уже несколько лет спорят «остроконечники» - считающие данное рассуждение верным и «тупоконечники», считающие, что вес картошки должен быть 50 кг.?

Где тут собака порылась?

А порылась собака вот в этой формулировке: «Уменьшить ДОЛЮ влаги на 1%». То есть, нужно сделать так, чтобы содержание влаги (ее ДОЛЯ) в картохе стало 98%. И, стало быть, содержание сухого вещества (его ДЛОЯ) стало 2%.

Как сделать так, чтобы, изучив с пристрастием, в данном случае, наш гигантский клубень, мы сказали с полной уверенностью: в нем 98% воды и 2% твердого вещества?

Сможем ли мы сказать это, исходя из решения нашей задачи с капсулами? Сколько процентов влаги и твердости содержит полученный клубень?

Давайте подсчитаем.

Итак, вес нашей картошки после усушки составил 99,01кг. И теперь его мы принимаем за 100%, верно?

Посчитаем, какую часть от этого веса составляют 98,01 капсулы воды.

99,01 : 100 = 0,9901 кг. – это вес одного процента от веса усохшей картошки.

98,01 : 0,9901 = 98,9 % - это доля воды в нашей картошке

1: 0,9901 = 1,1% – это доля твердого вещества

(цифры округлены).

Проверим:

98,9 % + 1,1% = 100%.

Все сходится. Но! Вы же сами видите, что соотношение твердого вещества к воде не 2 : 98, а 1,1 : 98,9.

Как же так? Вроде, правильно рассуждали.

А дело в том, что мы подменили одно понятие на другое.

Мы уменьшали на 1% количество воды. КОЛИЧЕСТВО. То есть, работали только с водой. Ее мы сделали той печкой, от которой начали свои танцы.

А в задаче нужно было уменьшить ДОЛЮ влаги. То есть, надо было не вычленить воду и уменьшить ее количество, а подвигать именно соотношение долей: нарастить до 2% долю сухого вещества, снизив, тем самым, до 98 % долю воды.

Что при этом мы можем менять? Только воду. Вес сухого вещества остается постоянным.

Верное решение

Посмотрим на решение с этой позиции: «Сухой остаток должен стать 2% при неизменности его массы».

Изначально у нас 99 кг воды, 1 кг сухого остатка.

После того, как картоха полежала на солнышке, сухой остаток всё ещё 1 кг, но теперь он составляет 2% от общей массы (раз воды стало 98%).

Значит, после усушки 1 кг. в новой картохе равняется уже не 1% от ее веса, а 2%.

И вот условие:

Если 1 кг. – это 2% веса, то сколько весят 98%?
1 : 2 = 0,5 кг. – столько весит 1%.
0,5 Х 98 = 49 кг. Именно столько должна весить оставшаяся вода, после того, как ее доля в картошке снизится с 99% до 98%.

Почему это кажется странным?

Ошибка в том, что люди думают, будто уменьшение влажности на 1% приводит к незначительному уменьшению массы. Они работают только с ВОДОЙ, принимая ее за 100% и отнимая от этой массы 1%. Но в задаче речь идет об изменении долей, то есть, об изменении пропорции! Когда уменьшается доля одного вещества, то увеличивается доля другого.

Когда доля воды была 99%, доля сухого вещества была 1%. Когда доля воды становится 98%, доля сухого вещества удваивается (до 2%), а значит, общая масса уменьшается вдвое, чтобы абсолютное количество сухого остатка осталось неизменным. Иными словами, масса падает вдвое, потому что пропорция сухого вещества меняется критически. Пропорция, Карл!

Парадокс существует только как интуитивный обман, но не как логическое противоречие. Математика здесь безупречна. Так что опровергнуть парадокс нельзя — можно лишь разоблачить ошибочную интуицию.

Альтернативные рассуждения для тех, кто так и не согласен

Представьте, что у вас умерла тетушка из Бразилии, которая оставила вам рудник «Черные дрозды», составляющие 1% от всего наследства.

Есть еще 99 рудников. Но это не ваше. Они – вашего кузена. И вот вы едете вступать в законные права, и вдруг узнаете, что управляющий, который ведал делами фамилии, проигрался на скачках. Он спустил часть оставленного состояния, правда, ваших «Черных дроздов» не тронул. И теперь ваш рудник – это уже 2 % от оставшейся недвижимости.

Хитрый кузен предлагает поделить наследство в первоначальных пропорциях. То есть, вам снова – 1% от всего имущества. А так как «Черные дрозды» – это уже 2%, то вам половина этих рудников.

Вы возмущены.

Кузен говорит, что он тоже пострадал, причем, очень серьезно.

И правда, если половина рудника – это 1% от наследства, то значит, теперь все наследство – это 50 рудников.

А было то 100.

Но вы посылаете кузена лесом. Ваше – это ваше. А он и с 49 рудниками не обеднеет.