Одна из головоломок Катрионы Шерер. Найти, какая часть фигуры закрашена.

Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я.

Предлагаю интересную геометрическую головоломку, автором которой считают Катриону Ширер.

Есть прямоугольник, внутри которого нарисовали 4 правильных треугольника. Вопрос: какая часть прямоугольника закрашена, то есть занята треугольниками?

Решение:

1. Высота красного треугольника равна половину стороны желтого треугольника. Это очевидно из того рисунка, что мы приведем чуть ниже (можно обозначить сторону: красного треугольника буквой a, площадь желтого (она же равна площади оранжевого буквой b, площадь зеленого - буквой c).

Итак, очевидно: высота красного треугольника равна половине стороны желтого.

Но, поскольку высота желтого треугольника ровно в √3 раз больше, чем половина его же стороны (это характерно для любого правильного треугольника), то делаем вывод: треугольники красный и желтый подобны (они же оба правильные, а все правильные треугольники подобны), и коэффициент подобия равен √3. А это значит, что площадь желтого треугольника в 3 раза больше, чем площадь красного.

Аналогичная ситуация будет, если рассматривать желтый и зеленый треугольник: площадь зеленого будет в 3 раза больше площади желтого и в 9 раз больше площади красного. Если площадь красного обозначить за х, то площадь всех закрашенных фигур будет х+3х+3х+9х=16х.

Но, с другой стороны, весь исходный прямоугольник можно разделить на 4 части:

Итак, общая площадь будет равна 3х+3х+9х+9х=24х.

Это значит, что закрашенная часть: 16х/24х = 2/3.

Итак, закрашено две трети.

А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч.